L'année de naissance est 1880.

Explications :
Soit le quotient donné, noté X : X=4,234234...
Nous avons donc 1000X=4234,234234...
En soustrayant, on obtient : 1000X-X=4230
Soit : X=14230/999

On cherche à obtenir un numérateur qui soit égale à une date de naissance possible.
On simplifie au maximum le quotient (ici, on simplifie par 9) pour trouver tous les multiples possible (par 2, 3, 4, etc.) :
X = 470/111 = 940/222 = 1410/333 = 1880/444 = 2350/555 = ...
La réponse est forcément 1880, seule compatible avec les contraintes présentées !